Ada beberapa sifat akar - akar persamaan kuadrat yang perlu kita ketahui. Hal ini akan lebih memudahkan kita dalam menganalisis akar - akar dari suatu persamaan kuadrat. Untuk mengetahuinya, pelajarilah uraian berikut dengan seksama.

     Pada bahasan ini kita akan melihat hubungan sifat akar dengan koefisien persamaan kuadrat, seperti yang telah kita ketahui ada beberapa sifat akar yakni ada akar yang yang sama, berlawanan, dan berkebalikan.

     Misalkan \[x_{1}\] dan \[x_{2}\] adalah akar-akar persamaan kuadrat \[ax^{2} + bx + c = 0\] , dengan syarat \[a \neq 0\ , a, b, c \in \mathbb{R}\] maka akan ada lima macam sifat dari akar yang berhubungan dengan koefisien persamaan kuadrat, diantaranya :

♦     Jika kedua akarnya sama atau kembar \[\left ( x_{1} = x_{2} \right )\] , maka \[D = 0\]

     Seperti yang kita ketahui jika \[D = 0\] maka menghasilkan akar kembar dengan rumus \[D = b^{2} - 4 ac\] , sifat akar

     ini mempunyai hubungan dengan koefisien persamaan kuadrat, untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut.

     Contoh :

♦     Jika kedua akarnya berlawanan \[\left ( x_{1} = - x_{2} \right )\] , maka \[b = 0\]

     Jika persamaan kuadrat \[ax^{2} + bx + c = 0 \] mempunyai dua akar berlawanan tanda, maka pasti akan memiliki \[b = 0\]

     Berlaku juga sebaliknya. Sifat akar ini mempunyai hubungan dengan koefisien persamaan kuadrat, untuk lebih

     jelasnya perhatikan uraian berikut.

     Contoh :

     Pada persamaan kuadrat \[x^{2} - 4 = 0\] mempunyai akar-akar \[x_{1} = -2\] dan \[x_{2} = 2\]. Perhatikan bahwa kedua akar

     persamaan tersebut berbeda tanda (berlawanan), maka \[x_{1} + x_{2} = -2 + 2 = 0\]. Kita juga mengetahui bahwasanya

     persamaan \[x^{2} - 4 = 0\] mempunyai nilai \[a = 1\], \[ b = 0\], dan \[c = 4\]

♦     Jika kedua akarnya berkebalikan \[x_{1} = \frac{1}{x_{2}}\] , maka \[a = c\]

     Jika persamaan kuadrat \[ax^{2} + bx + c = 0 \] mempunyai dua akar yang saling berkebalikan, maka \[a = c\]. Berlaku

     juga sebaliknya. Sifat akar ini mempunyai hubungan dengan koefisien persamaan kuadrat, untuk lebih jelasnya

     perhatikan uraian berikut.

     Contoh :

♦     Kedua akar positif jika \[-\frac{b}{a} > 0\]

     Jika persamaan kuadrat \[ax^{2} + bx + c = 0 \] mempunyai dua akar yang positif jika penjumlahan akar

     \[x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} > 0\] dengan syarat wajib \[a = 1\]. Sifat akar ini mempunyai hubungan dengan koefisien persamaan

     kuadrat, untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut.

     Contoh :

     Sekarang kita buktikan apakah benar kedua akar positif jika \[-\frac{b}{a} > 0\]

     Ternyata benar saja sifat akar ini berhubungan dengan koefisien persamaan kuadrat.

♦     Kedua akar negatif jika \[-\frac{b}{a} < 0\]

     Jika persamaan kuadrat \[ax^{2} + bx + c = 0 \] mempunyai dua akar yang negatif jika penjumlahan akar

     \[x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} < 0\] dengan syarat wajib \[a = 1\]. Sifat akar ini mempunyai hubungan dengan koefisien persamaan

     kuadrat, untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut.

     Contoh :

     Sekarang kita buktikan apakah benar kedua akar negatif jika \[-\frac{b}{a} < 0\]

     Ternyata benar saja sifat akar ini berhubungan dengan koefisien persamaan kuadrat.

Suatu persamaan kuadrat diketahui \[\left ( 1 - m \right ) x^{2} + \left ( 8 - 2m \right )x + 12 = 0\] mempunyai akar-akar kembar.

bagaimana cara menentukan nilai \[m\] nya?

     Diketahui \[a = \left ( 1 - m \right )\] , \[b = \left ( 8 - 2m \right )\] , dan \[c = 12\] , mempunyai akar kembar seperti yang sudah kita ketahui sebelumnya akar kembar atau \[\left ( x_{1} = x_{2} \right )\] adalah \[D = 0\]

\[\Leftrightarrow\]                                       \[b^{2} - 4 a c = 0\]

\[\Leftrightarrow\]     \[\left ( 8 - 2m \right )^{2} - 4\cdot \left ( 1 - m \right )\cdot 12 = 0\]

\[\Leftrightarrow\]   \[64 - 32m + 4m^{2} - 48 + 48m = 0\]

\[\Leftrightarrow\]                        \[4m^{2} + 16 m + 16 = 0\]

\[\Leftrightarrow\]                               \[m^{2} + 4m + 4 = 0\]

\[\Leftrightarrow\]                                      \[\left ( m + 2 \right )^{2} = 0\]

\[\Leftrightarrow\]                                           \[m + 2 = 0\]

\[\Leftrightarrow\]                                                   \[m = -2\]

Jadi, nilai dari \[m\] dari persamaan kuadrat \[\left ( 1 - m \right ) x^{2} + \left ( 8 - 2m \right )x + 12 = 0\] adalah -\[2\]

Diketahui persamaan kuadrat \[3x^{2} - \left ( p - 2 \right )x + 2p = 0\]. Tentukan nilai \[p\] agar kedua akar :

a.     berlawanan.

b.     saling berkebalikan.

Klik Untuk Melihat Petunjuk Pengisian Soal

Cara menjawab soal :

1. Tuliskan jawaban pada kolom kotak yang sudah disediakan.


2. Setelah menulis jawaban pada kolom, ketuk bagian layar agar dapat melihat warna kotak.


3. Jika kotak berwarna hijau maka jawabanmu benar, jika berwarna merah atau tidak berwarna sekalipun maka jawabanmu salah.


4. Kolom jawaban akan berlanjut jika menjawab dengan benar.

1.     Diketahui persamaan kuadrat : \[3x^{2} - \left ( p - 2 \right )x + 2p = 0\]
   

                    \[a = \]

                    \[b = \]

                    \[c = \]

   Kedua akar berlawanan, maka \[b = 0\]
   \[\Leftrightarrow\]         \[b = 0\]
   \[\Leftrightarrow\]  \[(\] \[ - \] \[) =\]

   \[\Leftrightarrow\]         \[p = \]

















2.     Diketahui persamaan kuadrat : \[3x^{2} - \left ( p - 2 \right )x + 2p = 0\]
   

                    \[a = \]

                    \[b = \]

                    \[c = \]

   Kedua akar saling berkebalikan, maka \[a = c\]
   \[\Leftrightarrow\]         \[a = c\]
   \[\Leftrightarrow\]        \[ = \]

   \[\Leftrightarrow\]          \[p = \]   ⁄

   Selamat Jawabanmu Benar Semua ^_^

Selanjutnya kerjakan latihan soal berikut ini agar pemahaman kamu lebih bertambah.