Ada beberapa sifat akar - akar persamaan kuadrat yang perlu kita ketahui. Hal ini akan lebih memudahkan kita dalam menganalisis akar - akar dari suatu persamaan kuadrat. Untuk mengetahuinya, pelajarilah uraian berikut dengan seksama.

      Kali ini yang akan dibahas adalah mengenai penjumlahan dan perkalian akar - akar persamaan kuadrat yang bisa diperoleh langsung dari bentuk umum persamaan kuadrat tanpa mencari akarnya terlebih dahulu.

     Hasil penjumlahan dan perkalian akar - akar persamaan kuadrat sebenarnya bisa kita peroleh dengan cara mencari akarnya terlebih dahulu, kemudian jumlahkan dan kalikan hasil yang diperoleh. Namun, hal tersebut akan sulit dilakukan apabila persamaan kuadratnya sulit untuk dicari akarnya. Berikut ini rumus dari penjumlahan dan perkalian akar - akar persamaan kuadrat apabila diketahui bentuk umum persamaan kuadratnya.

     Jika persamaan kuadrat \[ax^{2} + bx + c = 0\] memiliki akar-akar \[x_{1}\] dan \[x_{2}\] maka berlaku :

     Rumus tersebut diperoleh dari rumus untuk menentukan akar persamaan kuadrat. Berikut penjelasan bagaimana mendapat rumus tersebut.

Akar persamaan kuadrat \[ax^{2} + bx + c = 0\] adalah \[x_{1} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2a}\]   atau   \[x_{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2a}\]

Penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus diatas adalah sebagai berikut :

\[x_{1} + x_{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2a} + \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2a}\]

\[x_{1} + x_{2} = \frac{-2b}{2a}\]

\[x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}\]

Perkalian akar-akar persamaan kuadrat dari rumus diatas adalah sebagai berikut :

\[x_{1} \times x_{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2a} \times \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2a}\]

\[x_{1} \times x_{2} = \frac{\left ( -b \right )^{2} + \left ( \sqrt{b^{2} - 4 a c} \right )^{2}}{\left ( 2a \right )^{2}}\]

\[x_{1} \times x_{2} = \frac{b^{2} - \left ( b^{2} - 4 a c \right )}{4a^{2}}\]

\[x_{1} \times x_{2} = \frac{4 ac}{4a^{2}}\]

\[x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}\]

Pada sebuah persamaan kuadrat diketahui \[a\] dan \[b\] adalah akar-akar dari \[2x^{2} - px + 6 = 0\]. Serta nilai dari \[a + b = 12\]

bagaimana cara menentukan nilai \[p\] dengan menggunakan rumus penjumlahan akar-akar?

Diketahui:

\[a = 2\]

\[b = -p\]

\[c = 6\]

\[a + b = 12\]

subtitusikan pada rumus penjumlahan akar-akar

     \[\Leftrightarrow\]     \[a + b = \frac{-b}{a}\]

     \[\Leftrightarrow\]     \[12 = \frac{-\left ( -p \right )}{a}\]

     \[\Leftrightarrow\]     \[12 = \frac{p}{a}\]

     \[\Leftrightarrow\]     \[p = 24\]

Jadi, nilai dari \[p\] dari persamaan kuadrat \[2x^{2} - px + 6 = 0\] adalah 24

Diketahui \[x_{1}\] dan \[x_{2}\] adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \[x^{2} + 9x - 4 = 0\]. Tentukan nilai dari :

a.    \[x_{1} + x_{2}\]

b.    \[x_{1} \times x_{2}\]

Cara menjawab soal :

1. Tuliskan jawaban pada kolom kotak yang sudah disediakan.


2. Setelah menulis jawaban pada kolom, ketuk bagian layar agar dapat melihat warna kotak.


3. Jika kotak berwarna hijau maka jawabanmu benar, jika berwarna merah atau tidak berwarna sekalipun maka jawabanmu salah.


4. Kolom jawaban akan berlanjut jika kamu menjawab dengan benar.

1.     Diketahui persamaan kuadrat : \[x^{2} + 9x - 4 = 0\]
   

                    \[a = \]

                    \[b = \]

                    \[c = \]

   \[\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}\]
   
   \[\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \] −  ⁄

   \[\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \]





















2.     Diketahui persamaan kuadrat : \[x^{2} + 9x - 4 = 0\]
                    \[a = \]

                    \[b = \]

                    \[c = \]

   \[\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{c}{a}\]
   
   \[\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \]   ⁄

   \[\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \] 

   Selamat Jawabanmu Benar Semua ^_^

      Selain rumus-rumus yang sudah dipelajari terkait rumus jumlah dan hasil kali akar, ada beberapa rumus yang juga sering

digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left ( x_{1} + x_{2} \right )^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2}\]

\[x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = \left ( x_{1} + x_{2} \right )^{3} - 3 x_{1} \cdot x_{2} \left ( x_{1} + x_{2} \right )\]

\[\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}}\]

\[\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} \cdot x_{2}}\]

\[x_{1} - x_{2} = \frac{\pm \sqrt{D}}{a}\]